Contoh soal matematika smk kelas xi semester 2

Menguasai Matematika SMK Kelas XI Semester 2: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal

Matematika seringkali menjadi momok bagi sebagian siswa, namun di tingkat Sekolah Menengah Kejuruan (SMK), pemahaman matematika yang kuat sangat krusial. Ini bukan hanya untuk kelulusan, tetapi juga sebagai bekal fundamental untuk berbagai bidang keahlian yang akan mereka tekuni di dunia kerja. Semester 2 Kelas XI SMK biasanya mencakup materi-materi yang lebih aplikatif dan mendalam, yang membutuhkan pemahaman konsep yang baik serta kemampuan problem-solving yang mumpuni.

Artikel ini akan membimbing Anda melalui materi-materi penting dalam matematika SMK Kelas XI Semester 2, lengkap dengan contoh-contoh soal yang bervariasi dan penjelasan solusinya. Dengan memahami dan berlatih soal-soal ini, diharapkan siswa dapat lebih percaya diri dalam menghadapi ulangan harian, Penilaian Tengah Semester (PTS), Penilaian Akhir Semester (PAS), bahkan hingga Ujian Kompetensi Keahlian (UKK).

Materi Utama Matematika SMK Kelas XI Semester 2

Meskipun kurikulum dapat sedikit bervariasi antar sekolah, beberapa topik utama yang umum diajarkan di Matematika SMK Kelas XI Semester 2 meliputi:

1. Logaritma: Konsep dasar logaritma, sifat-sifat logaritma, persamaan dan pertidaksamaan logaritma, serta penerapannya.
2. Fungsi Kuadrat: Bentuk umum fungsi kuadrat, grafik fungsi kuadrat (parabola), menentukan titik puncak, titik potong sumbu, dan diskriminan, serta penerapannya dalam masalah dunia nyata.
3. Barisan dan Deret: Barisan aritmatika, barisan geometri, deret aritmatika, deret geometri, deret tak hingga, serta aplikasinya.
4. Trigonometri Dasar: Pengertian sinus, kosinus, tangen pada segitiga siku-siku, perbandingan trigonometri pada sudut istimewa, identitas trigonometri dasar, dan aturan sinus serta kosinus.
5. Statistika Dasar: Ukuran pemusatan (mean, median, modus) untuk data tunggal dan berkelompok, ukuran penyebaran (jangkauan, kuartil, simpangan baku), serta penyajian data (diagram batang, lingkaran, histogram).

Mari kita selami masing-masing topik ini dengan contoh soal dan pembahasannya.

>

1. Logaritma: Memahami Kekuatan Bilangan

Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan. Jika $a^b = c$, maka $log_a c = b$. Pemahaman ini menjadi kunci untuk menyelesaikan berbagai soal logaritma.

Konsep Dasar dan Sifat-sifat Logaritma:

• $log_a 1 = 0$
• $log_a a = 1$
• $log_a (b cdot c) = log_a b + log_a c$
• $log_a (b / c) = log_a b – log_a c$
• $log_a b^n = n log_a b$
• $log_a b = fraclog_c blog_c a$ (Ubah basis)
• $log_a^m b = frac1m log_a b$

Contoh Soal 1:

Hitunglah nilai dari $log_2 16 – log_2 4 + log_2 8$.

Pembahasan:

Kita dapat menggunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan ekspresi ini.

• $log_2 16$: Karena $2^4 = 16$, maka $log_2 16 = 4$.
• $log_2 4$: Karena $2^2 = 4$, maka $log_2 4 = 2$.
• $log_2 8$: Karena $2^3 = 8$, maka $log_2 8 = 3$.

Jadi, $log_2 16 – log_2 4 + log_2 8 = 4 – 2 + 3 = 5$.

Atau, menggunakan sifat-sifat logaritma:
$log_2 16 – log_2 4 + log_2 8 = log_2 left(frac164right) + log_2 8$
$= log_2 4 + log_2 8$
$= log_2 (4 cdot 8)$
$= log_2 32$
Karena $2^5 = 32$, maka $log_2 32 = 5$.

Contoh Soal 2 (Persamaan Logaritma):

Tentukan nilai $x$ dari persamaan $log_3 (x+1) = log_3 5$.

Pembahasan:

Jika $log_a M = log_a N$, maka $M = N$.
Dalam kasus ini, basis logaritmanya sama (yaitu 3).
Maka, $x+1 = 5$.
$x = 5 – 1$
$x = 4$.

Contoh Soal 3 (Penerapan):

Diketahui $log 2 = 0.301$ dan $log 3 = 0.477$. Hitunglah nilai $log 18$.

Pembahasan:

Kita perlu mengekspresikan 18 dalam bentuk perkalian dari 2 dan 3.
$18 = 2 cdot 9 = 2 cdot 3^2$.

Menggunakan sifat-sifat logaritma:
$log 18 = log (2 cdot 3^2)$
$= log 2 + log 3^2$
$= log 2 + 2 log 3$
$= 0.301 + 2(0.477)$
$= 0.301 + 0.954$
$= 1.255$.

>

2. Fungsi Kuadrat: Memahami Bentuk Parabola

Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum $f(x) = ax^2 + bx + c$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta, dan $a neq 0$. Grafik dari fungsi kuadrat adalah parabola.

Elemen Penting Fungsi Kuadrat:

• Titik Puncak: $(h, k) = left(-fracb2a, fleft(-fracb2aright)right)$.
• Titik Potong Sumbu Y: Terjadi saat $x=0$, sehingga titiknya adalah $(0, c)$.
• Titik Potong Sumbu X: Terjadi saat $f(x)=0$, yaitu $ax^2 + bx + c = 0$. Solusinya dapat dicari menggunakan rumus kuadratik $x = frac-b pm sqrtb^2-4ac2a$. Nilai $D = b^2-4ac$ disebut diskriminan.
  • Jika $D > 0$, terdapat dua titik potong sumbu X (dua akar real berbeda).
  • Jika $D = 0$, terdapat satu titik potong sumbu X (dua akar real sama atau satu akar kembar).
  • Jika $D < 0$, tidak ada titik potong sumbu X (akar imajiner).

Contoh Soal 4:

Tentukan titik puncak dari fungsi kuadrat $f(x) = 2x^2 – 8x + 6$.

Pembahasan:

Dari fungsi $f(x) = 2x^2 – 8x + 6$, kita punya $a=2$, $b=-8$, dan $c=6$.

Koordinat $x$ dari titik puncak ($h$) adalah:
$h = -fracb2a = -frac-82(2) = -frac-84 = 2$.

Sekarang, kita substitusikan $x=2$ ke dalam fungsi untuk mencari koordinat $y$ dari titik puncak ($k$):
$k = f(2) = 2(2)^2 – 8(2) + 6$
$k = 2(4) – 16 + 6$
$k = 8 – 16 + 6$
$k = -2$.

Jadi, titik puncak fungsi kuadrat tersebut adalah $(2, -2)$.

Contoh Soal 5:

Tentukan titik potong sumbu X dan sumbu Y dari fungsi kuadrat $f(x) = x^2 – 5x + 6$.

Pembahasan:

• Titik Potong Sumbu Y:
  Terjadi saat $x=0$.
  $f(0) = (0)^2 – 5(0) + 6 = 6$.
  Jadi, titik potong sumbu Y adalah $(0, 6)$.

• Titik Potong Sumbu X:
  Terjadi saat $f(x)=0$.
  $x^2 – 5x + 6 = 0$.
  Kita dapat memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
  $(x-2)(x-3) = 0$.
  Maka, $x-2 = 0$ atau $x-3 = 0$.
  $x = 2$ atau $x = 3$.
  Jadi, titik potong sumbu X adalah $(2, 0)$ dan $(3, 0)$.

Contoh Soal 6 (Penerapan):

Sebuah bola dilambungkan ke atas. Tinggi bola (dalam meter) setelah $t$ detik dinyatakan oleh fungsi $h(t) = -5t^2 + 20t$. Tentukan tinggi maksimum bola dan waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum tersebut.

Pembahasan:

Fungsi tinggi bola adalah $h(t) = -5t^2 + 20t$. Ini adalah fungsi kuadrat dengan $a=-5$, $b=20$, dan $c=0$.

Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum adalah koordinat $t$ dari titik puncak:
$t_puncak = -fracb2a = -frac202(-5) = -frac20-10 = 2$ detik.

Tinggi maksimum bola adalah nilai $h$ pada saat $t=2$ detik:
$hmax = h(2) = -5(2)^2 + 20(2)$
$hmax = -5(4) + 40$
$hmax = -20 + 40$
$hmax = 20$ meter.

Jadi, tinggi maksimum bola adalah 20 meter, dan waktu yang dibutuhkan untuk mencapainya adalah 2 detik.

>

3. Barisan dan Deret: Pola Angka yang Terstruktur

Barisan adalah urutan bilangan, sedangkan deret adalah jumlah dari suku-suku dalam suatu barisan.

Barisan Aritmatika:
Memiliki beda (selisih) yang konstan antara dua suku berurutan.

• Rumus suku ke-$n$: $U_n = a + (n-1)b$, di mana $a$ adalah suku pertama dan $b$ adalah beda.
• Rumus jumlah $n$ suku pertama: $S_n = fracn2(2a + (n-1)b)$ atau $S_n = fracn2(a + U_n)$.

Barisan Geometri:
Memiliki rasio yang konstan antara dua suku berurutan.

• Rumus suku ke-$n$: $U_n = ar^n-1$, di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio.
• Rumus jumlah $n$ suku pertama: $S_n = fraca(r^n – 1)r-1$ (jika $r > 1$) atau $S_n = fraca(1 – r^n)1-r$ (jika $0 < r < 1$).

Contoh Soal 7:

Tentukan suku ke-15 dari barisan aritmatika 3, 7, 11, 15, …

Pembahasan:

Barisan ini adalah barisan aritmatika.
Suku pertama ($a$) = 3.
Beda ($b$) = $7 – 3 = 4$.

Kita gunakan rumus suku ke-$n$: $Un = a + (n-1)b$.
Untuk suku ke-15 ($n=15$):
$U15 = 3 + (15-1) cdot 4$
$U15 = 3 + (14) cdot 4$
$U15 = 3 + 56$
$U_15 = 59$.

Contoh Soal 8:

Hitunglah jumlah 5 suku pertama dari barisan geometri 2, 6, 18, 54, …

Pembahasan:

Barisan ini adalah barisan geometri.
Suku pertama ($a$) = 2.
Rasio ($r$) = $frac62 = 3$.

Kita gunakan rumus jumlah $n$ suku pertama: $S_n = fraca(r^n – 1)r-1$ karena $r > 1$.
Untuk jumlah 5 suku pertama ($n=5$):
$S_5 = frac2(3^5 – 1)3-1$
$S_5 = frac2(243 – 1)2$
$S_5 = 242$.

Contoh Soal 9 (Penerapan):

Seorang petani menanam pohon mangga. Pada baris pertama ada 10 pohon, baris kedua ada 12 pohon, baris ketiga ada 14 pohon, dan seterusnya. Jika ada 20 baris, berapa jumlah total pohon mangga yang ditanam?

Pembahasan:

Jumlah pohon per baris membentuk barisan aritmatika: 10, 12, 14, …
Suku pertama ($a$) = 10.
Beda ($b$) = $12 – 10 = 2$.
Jumlah baris ($n$) = 20.

Kita perlu mencari jumlah total pohon, yang merupakan jumlah 20 suku pertama dari barisan aritmatika ini.
Gunakan rumus $Sn = fracn2(2a + (n-1)b)$:
$S20 = frac202(2(10) + (20-1)2)$
$S20 = 10(20 + (19)2)$
$S20 = 10(20 + 38)$
$S20 = 10(58)$
$S20 = 580$.

Jadi, jumlah total pohon mangga yang ditanam adalah 580 pohon.

>

4. Trigonometri Dasar: Mengukur Sudut dan Sisi

Trigonometri mempelajari hubungan antara sudut dan sisi dalam segitiga. Di SMK, fokusnya seringkali pada aplikasi praktis.

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku:
Misalkan terdapat segitiga siku-siku dengan sudut $alpha$. Sisi di depan sudut $alpha$ disebut depan (de), sisi di samping sudut $alpha$ disebut samping (sa), dan sisi miring disebut miring (mi).

• $sin alpha = fractextdepantextmiring$
• $cos alpha = fractextsampingtextmiring$
• $tan alpha = fractextdepantextsamping$

Sudut Istimewa:
Beberapa sudut yang nilainya sering digunakan:

• $30^circ$: $sin 30^circ = frac12$, $cos 30^circ = fracsqrt32$, $tan 30^circ = frac1sqrt3$
• $45^circ$: $sin 45^circ = fracsqrt22$, $cos 45^circ = fracsqrt22$, $tan 45^circ = 1$
• $60^circ$: $sin 60^circ = fracsqrt32$, $cos 60^circ = frac12$, $tan 60^circ = sqrt3$

Contoh Soal 10:

Sebuah tiang bendera memiliki tinggi 12 meter. Jika jarak ujung bayangan tiang bendera ke puncak tiang tersebut membentuk sudut elevasi $60^circ$ dengan tanah, berapakah panjang bayangan tiang bendera tersebut?

Pembahasan:

Kita dapat membuat sketsa segitiga siku-siku.
Tinggi tiang bendera adalah sisi depan sudut elevasi, yaitu 12 meter.
Panjang bayangan adalah sisi samping sudut elevasi.

Kita gunakan perbandingan tangen:
$tan alpha = fractextdepantextsamping$
$tan 60^circ = frac12textpanjang bayangan$

Kita tahu bahwa $tan 60^circ = sqrt3$.
$sqrt3 = frac12textpanjang bayangan$
Panjang bayangan $= frac12sqrt3 = frac12sqrt33 = 4sqrt3$ meter.

Contoh Soal 11:

Hitunglah nilai dari $sin 45^circ cos 30^circ + cos 45^circ sin 30^circ$.

Pembahasan:

Gunakan nilai sudut istimewa:
$sin 45^circ = fracsqrt22$
$cos 30^circ = fracsqrt32$
$cos 45^circ = fracsqrt22$
$sin 30^circ = frac12$

Substitusikan nilai-nilai tersebut:
$sin 45^circ cos 30^circ + cos 45^circ sin 30^circ = left(fracsqrt22right) left(fracsqrt32right) + left(fracsqrt22right) left(frac12right)$
$= fracsqrt64 + fracsqrt24$
$= fracsqrt6 + sqrt24$.

(Catatan: Ekspresi ini juga merupakan identitas penjumlahan sudut untuk sinus: $sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B$. Jadi, soal ini juga menghitung $sin(45^circ + 30^circ) = sin 75^circ$)

>

5. Statistika Dasar: Memahami Data

Statistika membantu kita mengumpulkan, menganalisis, dan menginterpretasikan data.

Ukuran Pemusatan:

• Mean (Rata-rata): Jumlah seluruh data dibagi banyaknya data.
  • Data Tunggal: $barx = fracsum x_in$
  • Data Berkelompok: $barx = fracsum (f_i cdot x_i)sum f_i$ (di mana $f_i$ adalah frekuensi dan $x_i$ adalah nilai tengah kelas)
• Median: Nilai tengah data setelah diurutkan.
  • Data Tunggal: Jika $n$ ganjil, median adalah suku ke-$fracn+12$. Jika $n$ genap, median adalah rata-rata dari suku ke-$fracn2$ dan $fracn2+1$.
  • Data Berkelompok: $Me = L + fracfrac12n – Ff cdot p$ ( $L$=batas bawah kelas median, $n$=jumlah seluruh frekuensi, $F$=jumlah frekuensi sebelum kelas median, $f$=frekuensi kelas median, $p$=panjang kelas)
• Modus: Nilai yang paling sering muncul.
  • Data Tunggal: Nilai yang frekuensinya terbesar.
  • Data Berkelompok: $Mo = L + fracd_1d_1+d_2 cdot p$ ($L$=batas bawah kelas modus, $d_1$=selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya, $d_2$=selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya, $p$=panjang kelas)

Contoh Soal 12 (Data Tunggal):

Diberikan data nilai ulangan matematika 10 siswa: 7, 8, 6, 9, 7, 5, 8, 9, 7, 6.
Tentukan mean, median, dan modus dari data tersebut.

Pembahasan:

Urutkan data: 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9.
Banyaknya data ($n$) = 10.

• Mean:
  Jumlah data = $5+6+6+7+7+7+8+8+9+9 = 72$.
  Mean ($barx$) = $frac7210 = 7.2$.

• Median:
  Karena $n=10$ (genap), median adalah rata-rata dari suku ke-$frac102=5$ dan suku ke-$frac102+1=6$.
  Suku ke-5 adalah 7. Suku ke-6 adalah 7.
  Median = $frac7+72 = 7$.

• Modus:
  Frekuensi kemunculan setiap nilai:
  5: 1 kali
  6: 2 kali
  7: 3 kali
  8: 2 kali
  9: 2 kali
  Nilai yang paling sering muncul adalah 7 (frekuensi 3).
  Modus = 7.

Contoh Soal 13 (Data Berkelompok):

Tabel berikut menunjukkan data tinggi badan siswa kelas XI SMK X:

Tinggi Badan (cm)	Frekuensi (f)
150-154	4
155-159	8
160-164	15
165-169	10
170-174	3

Tentukan modus dari data tersebut.

Pembahasan:

• Identifikasi kelas modus: Kelas dengan frekuensi tertinggi adalah 160-164, dengan frekuensi 15.
• Batas bawah kelas modus ($L$) = 159.5 (karena batas atas kelas sebelumnya adalah 159, dan batas bawah kelas modus adalah 160). Atau, $L = frac160+1592 = 159.5$.
• Frekuensi kelas modus ($f_modus$) = 15.
• Frekuensi kelas sebelum kelas modus ($d_1$) = 8.
• Frekuensi kelas sesudah kelas modus ($d_2$) = 10.
• Panjang kelas ($p$) = $154-150+1 = 5$ (atau $159-155+1=5$, dst.).

Gunakan rumus modus data berkelompok: $Mo = L + fracd_1d_1+d_2 cdot p$.
$Mo = 159.5 + frac88+10 cdot 5$
$Mo = 159.5 + frac818 cdot 5$
$Mo = 159.5 + frac4018$
$Mo = 159.5 + 2.22…$
$Mo approx 161.72$ cm.

>

Penutup

Menguasai materi-materi matematika di Kelas XI Semester 2 SMK adalah langkah penting untuk membangun fondasi yang kokoh. Contoh soal yang disajikan di atas mencakup berbagai konsep dasar dan beberapa aplikasi praktis. Ingatlah bahwa kunci utama dalam belajar matematika adalah pemahaman konsep, latihan soal yang konsisten, dan kemauan untuk bertanya jika ada kesulitan.

Teruslah berlatih, eksplorasi soal-soal yang lebih menantang, dan jangan ragu untuk menghubungkan konsep matematika dengan bidang keahlian Anda di SMK. Dengan dedikasi dan kerja keras, Anda pasti dapat meraih hasil yang optimal dalam matematika. Selamat belajar!

>