contoh soal matematika smp kelas 8 semester 2 lingkaran

Menyelami Keindahan Lingkaran: Contoh Soal Matematika SMP Kelas 8 Semester 2

Lingkaran, sebuah bentuk geometris yang sederhana namun mempesona, hadir dalam berbagai aspek kehidupan kita, mulai dari roda kendaraan, piring makan, hingga orbit planet. Di bangku SMP kelas 8 semester 2, kita akan mendalami lebih jauh tentang sifat-sifat lingkaran dan bagaimana mengaplikasikannya dalam pemecahan masalah. Bagian ini merupakan fondasi penting untuk pemahaman matematika yang lebih mendalam di jenjang selanjutnya.

Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi berbagai jenis soal yang sering muncul dalam ujian maupun latihan soal matematika SMP kelas 8 semester 2 yang berkaitan dengan lingkaran. Kita akan membahas konsep-konsep kunci seperti jari-jari, diameter, keliling, luas, tembereng, juring, serta garis singgung lingkaran. Dengan memahami konsep-konsep ini dan berlatih melalui contoh soal yang beragam, diharapkan siswa dapat lebih percaya diri dalam menghadapi materi lingkaran.

Mari kita mulai dengan beberapa konsep dasar yang perlu diingat sebelum masuk ke contoh soal.

Konsep Dasar Lingkaran:

Pusat Lingkaran (O): Titik tetap yang berjarak sama dari setiap titik pada lingkaran.
Jari-jari (r): Jarak dari pusat lingkaran ke sembarang titik pada keliling lingkaran.
Diameter (d): Garis lurus yang melalui pusat lingkaran dan menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran. Hubungannya dengan jari-jari adalah d = 2r atau r = d/2.
Keliling Lingkaran (K): Panjang garis lengkung yang membentuk lingkaran. Rumusnya adalah K = 2πr atau K = πd.
Luas Lingkaran (L): Daerah yang dibatasi oleh keliling lingkaran. Rumusnya adalah L = πr² atau L = (1/4)πd².
Nilai π (Pi): Konstanta matematika yang nilainya kira-kira 22/7 atau 3,14. Pemilihan nilai π tergantung pada kemudahan perhitungan dan instruksi soal. Jika jari-jari atau diameter adalah kelipatan 7, lebih baik menggunakan π = 22/7.

Memahami Tembereng dan Juring:

Selain konsep dasar, kita juga akan menemui soal-soal yang melibatkan bagian-bagian dari lingkaran:

Juring: Daerah lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur lingkaran. Luas juring dihitung dengan perbandingan sudut pusatnya terhadap 360 derajat:
Luas Juring = (Sudut Pusat / 360°) × Luas Lingkaran
Luas Juring = (Sudut Pusat / 360°) × πr²
Tembereng: Daerah lingkaran yang dibatasi oleh tali busur dan busur lingkaran. Luas tembereng dapat dihitung dengan mengurangkan luas segitiga yang terbentuk oleh tali busur dan dua jari-jari dari luas juring yang sesuai:
Luas Tembereng = Luas Juring – Luas Segitiga

Garis Singgung Lingkaran:

Garis singgung adalah garis lurus yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik.

Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran: Garis singgung yang menyinggung dua lingkaran sekaligus. Ada dua jenis: garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar.

Contoh Soal dan Pembahasannya:

Sekarang, mari kita aplikasikan konsep-konsep di atas dengan beberapa contoh soal yang bervariasi.

Contoh Soal 1: Menghitung Keliling dan Luas Lingkaran

Sebuah taman berbentuk lingkaran memiliki jari-jari 7 meter. Hitunglah:
a. Keliling taman tersebut.
b. Luas taman tersebut.

Pembahasan:

Diketahui:
Jari-jari (r) = 7 meter
π = 22/7 (karena jari-jari adalah kelipatan 7, ini akan mempermudah perhitungan)

a. Menghitung Keliling Lingkaran:
Rumus keliling lingkaran adalah K = 2πr.
K = 2 × (22/7) × 7 meter
K = 2 × 22 meter
K = 44 meter

Jadi, keliling taman tersebut adalah 44 meter.

b. Menghitung Luas Lingkaran:
Rumus luas lingkaran adalah L = πr².
L = (22/7) × (7 meter)²
L = (22/7) × 49 meter²
L = 22 × (49/7) meter²
L = 22 × 7 meter²
L = 154 meter²

Jadi, luas taman tersebut adalah 154 meter persegi.

Contoh Soal 2: Menghitung Jari-jari atau Diameter dari Keliling atau Luas

Sebuah roda sepeda memiliki keliling 154 cm. Jika π = 22/7, tentukanlah:
a. Jari-jari roda sepeda tersebut.
b. Diameter roda sepeda tersebut.

Pembahasan:

Diketahui:
Keliling (K) = 154 cm
π = 22/7

a. Menghitung Jari-jari Lingkaran:
Rumus keliling lingkaran adalah K = 2πr. Kita perlu mencari nilai r.
154 cm = 2 × (22/7) × r
154 cm = (44/7) × r

Untuk mencari r, kita balikkan persamaannya:
r = 154 cm × (7/44)
r = (154/44) × 7 cm

Kita bisa menyederhanakan 154/44 dengan membagi keduanya dengan 2, lalu dengan 11:
154 ÷ 2 = 77
44 ÷ 2 = 22
77 ÷ 11 = 7
22 ÷ 11 = 2
Jadi, 154/44 = 7/2 = 3,5

r = 3,5 × 7 cm
r = 24,5 cm

Jadi, jari-jari roda sepeda tersebut adalah 24,5 cm.

b. Menghitung Diameter Lingkaran:
Rumus diameter adalah d = 2r.
d = 2 × 24,5 cm
d = 49 cm

Atau kita bisa langsung menggunakan rumus keliling K = πd.
154 cm = (22/7) × d
d = 154 cm × (7/22)
d = (154/22) × 7 cm
d = 7 × 7 cm
d = 49 cm

Jadi, diameter roda sepeda tersebut adalah 49 cm.

Contoh Soal 3: Menghitung Luas Juring

Sebuah kipas angin memiliki panjang jari-jari 30 cm. Salah satu bilah kipas membentuk sudut pusat 72°. Hitunglah luas daerah yang disapu oleh satu bilah kipas tersebut.

Pembahasan:

Diketahui:
Jari-jari (r) = 30 cm
Sudut Pusat = 72°
π ≈ 3,14 (karena jari-jari bukan kelipatan 7, menggunakan 3,14 lebih praktis)

Luas daerah yang disapu oleh satu bilah kipas adalah luas juring.
Rumus Luas Juring = (Sudut Pusat / 360°) × πr²

Luas Juring = (72° / 360°) × 3,14 × (30 cm)²
Luas Juring = (72/360) × 3,14 × 900 cm²

Sederhanakan pecahan 72/360:
72/360 = 1/5 (karena 360 / 72 = 5)

Luas Juring = (1/5) × 3,14 × 900 cm²
Luas Juring = 0,2 × 3,14 × 900 cm²
Luas Juring = 0,628 × 900 cm²
Luas Juring = 565,2 cm²

Jadi, luas daerah yang disapu oleh satu bilah kipas tersebut adalah 565,2 cm persegi.

Contoh Soal 4: Menghitung Luas Tembereng

Perhatikan gambar di bawah ini. Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O. Jari-jari OA = OB = 10 cm dan sudut AOB = 90°. Hitunglah luas tembereng AB.

(Asumsikan ada gambar lingkaran dengan titik O sebagai pusat, dan titik A serta B pada keliling lingkaran, membentuk sudut 90° di pusat. OA dan OB adalah jari-jari.)

Pembahasan:

Diketahui:
Jari-jari (r) = 10 cm
Sudut Pusat AOB = 90°
π ≈ 3,14

Untuk menghitung luas tembereng AB, kita perlu menghitung luas juring AOB dan luas segitiga AOB.

Menghitung Luas Juring AOB:
Luas Juring AOB = (Sudut Pusat AOB / 360°) × πr²
Luas Juring AOB = (90° / 360°) × 3,14 × (10 cm)²
Luas Juring AOB = (1/4) × 3,14 × 100 cm²
Luas Juring AOB = 0,25 × 3,14 × 100 cm²
Luas Juring AOB = 0,25 × 314 cm²
Luas Juring AOB = 78,5 cm²
Menghitung Luas Segitiga AOB:
Segitiga AOB adalah segitiga siku-siku di O karena sudut AOB = 90°. Sisi OA dan OB adalah alas dan tinggi segitiga.
Luas Segitiga AOB = (1/2) × alas × tinggi
Luas Segitiga AOB = (1/2) × OA × OB
Luas Segitiga AOB = (1/2) × 10 cm × 10 cm
Luas Segitiga AOB = (1/2) × 100 cm²
Luas Segitiga AOB = 50 cm²
Menghitung Luas Tembereng AB:
Luas Tembereng AB = Luas Juring AOB – Luas Segitiga AOB
Luas Tembereng AB = 78,5 cm² – 50 cm²
Luas Tembereng AB = 28,5 cm²

Jadi, luas tembereng AB adalah 28,5 cm persegi.

Contoh Soal 5: Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran (Dalam)

Dua buah lingkaran memiliki jari-jari masing-masing 6 cm dan 4 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran adalah 18 cm, hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalamnya.

Pembahasan:

Diketahui:
Jari-jari lingkaran 1 (r₁) = 6 cm
Jari-jari lingkaran 2 (r₂) = 4 cm
Jarak kedua pusat lingkaran (d) = 18 cm

Rumus panjang garis singgung persekutuan dalam (gsd) adalah:
gsd = √

gsd = √
gsd = √
gsd = √
gsd = √

Untuk menyederhanakan √224, kita cari faktor kuadrat terbesar dari 224.
224 = 16 × 14
√224 = √(16 × 14) = √16 × √14 = 4√14

gsd = 4√14 cm

Jika diminta dalam bentuk desimal, kita bisa menghitung perkiraan nilai √14. Namun, dalam soal SMP biasanya bentuk akar sudah cukup.

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 4√14 cm.

Contoh Soal 6: Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran (Luar)

Dua buah lingkaran memiliki jari-jari masing-masing 10 cm dan 3 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran adalah 25 cm, hitunglah panjang garis singgung persekutuan luarnya.

Pembahasan:

Diketahui:
Jari-jari lingkaran 1 (r₁) = 10 cm
Jari-jari lingkaran 2 (r₂) = 3 cm
Jarak kedua pusat lingkaran (d) = 25 cm

Rumus panjang garis singgung persekutuan luar (gsl) adalah:
gsl = √

gsl = √
gsl = √
gsl = √
gsl = √
gsl = 24 cm

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 24 cm.

Tips Tambahan dalam Mengerjakan Soal Lingkaran:

Gambar yang Jelas: Selalu usahakan menggambar sketsa lingkaran yang sesuai dengan deskripsi soal. Ini akan sangat membantu dalam memvisualisasikan masalah dan mengidentifikasi elemen-elemen yang relevan.
Perhatikan Satuan: Pastikan satuan yang digunakan konsisten. Jika jari-jari dalam cm, maka keliling akan dalam cm, dan luas dalam cm².
Pilih Nilai π yang Tepat: Gunakan π = 22/7 jika jari-jari atau diameter adalah kelipatan 7. Gunakan π = 3,14 jika tidak dan jika soal meminta jawaban desimal. Jika tidak ada instruksi khusus, pilihlah yang paling memudahkan perhitungan.
Hafalkan Rumus Dasar: Kuasai rumus keliling (K = 2πr atau K = πd) dan luas (L = πr² atau L = (1/4)πd²).
Pahami Konsep Juring dan Tembereng: Ingat bahwa juring adalah "potongan pizza" dan tembereng adalah bagian yang terbentuk oleh tali busur.
Garis Singgung: Pahami perbedaan antara garis singgung persekutuan dalam dan luar, serta rumus yang digunakan untuk masing-masing.
Cek Ulang: Setelah selesai menghitung, baca kembali soal dan jawaban Anda untuk memastikan tidak ada kesalahan perhitungan atau konsep.

Penutup:

Mempelajari lingkaran memang membutuhkan ketelitian dan pemahaman yang baik terhadap rumus-rumusnya. Dengan berlatih melalui contoh-contoh soal seperti yang telah dibahas, diharapkan Anda dapat semakin mahir dalam menyelesaikan berbagai permasalahan yang berkaitan dengan lingkaran. Ingatlah bahwa matematika adalah tentang pemecahan masalah, dan lingkaran menawarkan banyak kesempatan untuk melatih kemampuan berpikir logis dan analitis Anda. Teruslah berlatih, jangan takut mencoba, dan Anda akan menemukan keindahan dalam setiap bentuk geometris, termasuk lingkaran.